一、求 概率论与数理统计 第四版 沈恒范编 课后习题答案
习题二
一、填空题
1．设随机变量的概率密度函数为
若使得，则的取植范围是．
解：
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
综上，若使得，则的取植范围是．
2．设随机变量服从参数为的二项分布，随机变量服从参数为的二项分布．若，则．
解：因为，所以，从而有
又，故所求为
3．一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第个零件是不合格品的概率（），以表示3个零件中合格品的个数，则．
解：设表示“第i个零件是合格品”（i=1,2,3），则由题设知事件相互独立，且
故所求概率为
4．设随机变量的概率密度为，以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数，则___________．
解：一次观察中事件出现的该率为
则由题设知，故所求概率为
5．若随机变量服从参数为的正态分布，且，则
．
解：因为，所以
则有
故所求概率为
6．设随机变量的分布函数为
则的概率分布为．
解：由题设知的所有可能取值为，且
从而得的概率分布为
X-1 1 3
0.4 0.4 0.2
7．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为．
解：设该射手的命中率为，表示四次射击中的命中次数，则由题设知，从而有
故所求为
8．设随机变量服从正态分布，且二次方程无实根的概率为0.5，则=．
解：因为，所以由题设知
则有
故所求为
4
9．设连续型随机变量的分布函数为
则，．
解：因为X为连续型随机变量，故其分布函数F(x)连续，所以
即 1
从而
10．设随机变量服从参数为（10，0.022）的正态分布．已知，，则落在区间（9.95，10.05）内的概率为．
解：因为，所以则落在区间（9.95，10.05）内的概率为
二、单项选择题
1.设与分别为随机变量与的分布函数，为使F（x）=－是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取[ ]
（A）,（B）,
（C）,（D）,
解：根据分布函数的性质：，于是有
即．
对比四个选项知，只有(A)中的和值满足，故正确选项为(A)．
2.设随机变量服从正态分布,则随的增大，概率,则[ ]
(A)单调增大(B)单调减(C)保持不变(D)增减不定
解：由于，因此，于是有
可见所求概率不随和的变化而变化，故正确选项为(C)．
3.设随机变量的密度函数为,且,是的分布函数，则对任意实数,有[ ]
(A)(B)
(C)(D)
解：要想最快速度作出选择，首先设法找出随机变量的分布函数满足哪条性质．而其密度函数满足，即为偶函数．为此，先将退到一个特殊位置——把想象成服从标准正态分布的随机变量．
如图，图2—1(1)中阴影部分的面积为，图2—1(2)中阴影部分的面积为，据此很容易选出(B)为正确答案．下面给出证明：
证由分布函数的定义得
利用积分的可加性，有
(2.2.1)
而由密度函数性质
又因为，所以
(2.2.2)
在积分中作变量替换，令，则
(2.2.3)
将(2.2.2)与(2.2.3)式代入(2.2.1)式，得
故正确选项为(B)．
注：这种转化过程，其实利用的就是由“一般”退到“特殊”以利于寻求答案，待得到答案后再完成由“特殊”进到“一般”的严格推导的辩证思维．这一思想，尤其是在解决选择题上最常用．
4.设随机变量与均服从正态分布，,;记,，则[ ]
(A)对任何实数,都有(B)对任何实数,都有
(C)只对个别值,才有(B)对任何实数,都有
解：由于,，因此，于是有
所以对任何实数,都有，故正确选项为(A)．
5．设随机变量服从正态分布，对给定的α∈(0,1)，数满足，若，则等于[ ]
(A)(B)(C)(D)
解：由于，因此
于是有
从而
又，所以，故正确选项为(B)．
6．设随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，且
则必有[ ]
(A)(B)(C)(D)
解：由于,，因此，于是有
又
所以
从而
即
所以，故正确选项为(A)．
7．某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好是他第2次命中目标的概率为[ ]
（A）（B）（C）（D）
解：此人第4次射击恰好是他第2次命中目标，即此人前三次射击中只有一次命中且第四次命中目标，设表示“此人前三次射击中的命中次数”,则．另设表示“此人前三次射击中只有一次命中”，表示“第四次命中目标”，于是有
因此所求为
故正确选项为(C)．
8．随机变量的概率密度为,则的概率密度为 [ ]
（A）（B）（C）（D）
解：的分布函数
所以的概率密度为
也可以写成
故正确选项为(B)．
9．设随机变量的分布函数,则 [ ]
(A) 1(B)(C)(D)
解：根据分布函数的性质：，于是有
即，故正确选项为(A)．
10．设随机变量的概率分布是
则的概率分布是()
(A)
(B)
(C)
(D)
解：由题设知的所有可能取值为，且
从而得的概率分布为
Y 0 1 4
2/5 1/5 2/5
故正确选项为(A)．
三、解答题
1．分别用随机变量表示下列事件
(1)观察某电话总机每分钟内收到的呼唤次数，试用随机变量表示事件“收到呼唤3次”、“收到呼唤次数不多于6次”；
(2)抽查一批产品，任取一件检查其长度，试用随机变量表示事件“长度等于10cm”、“长度在10cm到10.1cm之间”；
(3)检查产品5件，设为至少有一件次品，为次品不少于两件，试用随机变量表示事件
解：(1)事件“收到呼唤3次”表示为，“收到呼唤次数不多于6次”表示为；
(2)事件“长度等于10cm”表示为；“长度在10cm到10.1cm之间”表示为
(3)事件
2．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以表示取出的3只球中的最大号码，写出的分布律及分布函数．
解：由题设得
，，
从而得的分布律为
X 3 4 5
的分布函数为
3．汽车需要通过有4盏红绿信号灯的道路才能到达目的地．设汽车在每盏红绿灯前通过(即遇到绿灯)的概率都是0.6；停止前进(即遇到红灯)的概率为0.4，求汽车首次停止前进(即遇到红灯，或到达目的地)时，已通过的信号灯的个数的分布律．
解：设表示“汽车在停止前进时已通过的信号灯数”，则随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,4，又设表示事件“汽车将通过时第i盏信号灯开绿灯”，则由题意
表示{已通过的信号灯数是0(即第一盏信号灯是红灯)},故
表示{已通过的信号灯数是1(即第一盏信号灯是绿灯，而第二盏是红灯),故
同理
于是的分布律为
即
0 1 2 3 4
0.4 0.24 0.144 0.0864 0.1296
4．假设随机变量的概率密度为
现在对进行次独立重复观测，以表示观测值不大于0.1的次数.试求随机变量的概率分布．
解：事件“观测值不大于0.1”，即事件的概率为
每次观测所得观测值不大于0.1为成功，则作为次独立重复试验成功的次数，服从参数为的二项分布，即的概率分布为
5．假设一大型设备在任何长为的时间内发生故障的次数服从参数为的泊松分布．（1）求相继两次故障之间时间间隔的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率．
解：(1)由题设可知
同时易见T是只取非负值的随机变量，当时，；当时，事件与等价．于是有
故T的分布函数为
即T服从参数为的指数分布．
(2)由于指数分布具有“无记忆”性，因此
6．假设测量的随机误差，试求在100次独立重复测量中，至少有三次误差绝对值大于19.6的概率，并利用泊松分布求出的近似值（要求数点后取两位有效数字）．
解：设为每次测量误差的绝对值大于19.6的概率，则
设为100次独立重复测量中事件出现的次数，则服从二项分布，参数为，所以
由泊松定理知，近似服从参数为的泊松分布，故所求为
7．某商品的次品率是0.01．现从一大批该商品中任取500个，问次品数不超过5个的概率．要求：(1)写出二项分布计算公式；（2）用泊松分布计算结果．
解：由题设知X～B(500,0.01),即
所以
(1)次品数不超过5个的概率为
(2)由泊松定理知，近似服从参数为的泊松分布，故所求为
8．在电源电压不超过200伏、在200—240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2．假设电源电压X服从正态分布，试求：(1)该电子元件损坏的概率；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200—240伏的概率．
解：设表示“电压不超过200伏”，表示“电压在200—240伏”，表示“电压超过240伏”；表示“电子元件损坏”．
又，所以
(1)由题设可知：，于是由全概率公式有
(2)由条件概率公式（或贝叶斯公式）得所求为
9．设电流是一个随机变量，它均匀分布在9安~11安之间.若此电流通过2欧姆的电阻，在其上消耗的功率为，求的概率密度．
解：由题意I的概率密度为
对于
由于，所以当时，其分布函数，故
综上，的概率密度为
10．设随机变量在[2，5]上服从均匀分布．现在对进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率．
解：由题设知，的分布函数为
设为每次观测中观测值大于3的概率，则
设为3次独立观测中事件出现的次数，则服从二项分布，参数为，故所求为
11．设随机变量的分布律为
X 0 1 2 3 4 5
求的分布律.
解:
X 0 1 2 3 4 5
8 2 0 2 8 18
从而有
故的分布律为
Y 0 2 8 18
12．设随机变量的概率密度函数为，求随机变量的概率密度函数．
解：对任意实数，根据定义随机变量的分布函数为
则有
即随机变量的概率密度函数
13．假设随机变量在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量的概率密度．
解：由题设知，的密度函数为
对任意实数，根据定义随机变量的分布函数为
(1)当时，，则
(2)当时，，则
所以
当即时，
当或时，
综上可得，随机变量的概率密度为
14．假设随机变量的绝对值不大于1；P，P；在事件出现的条件下，在内的任一子空间上取值的条件概率与该子空间的长度成正比．试求的分布函数．
解：由题设可知
所以有
(1)当时，
(2)当时
(3)当时，
综上可得，随机变量的分布函数为
15.设随机变量的概率密度为，为的分布函数，求的分布函数．
解：
当时，
当时，
当时，
综上可得，随机变量的分布函数为
对任意实数，根据定义随机变量的分布函数为
当时，
当时
当时，
于是，的分布函数为
16.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，终调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂．现该厂新生产了台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）．求：（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰好有两台不能出厂的概率；（3）其中至少有两台不能出厂的概率．
解：对于新生产的每台仪器，设表示“仪器需进一步调试”，表示“仪器能出厂”，则表示“仪器需进一步调试”，表示“仪器经调试后能出厂”．
由题设可知，，，从而有
设表示“所生产的台仪器中能出厂的台数”，则作为次独立试验成功（仪器能出厂）的次数，服从参数为的二项分布，因此
(1)
(2)
(3)
17.某种型号的电子管的寿命的分布密度函数为
现从一大批中任取5只，问其中至少有两只寿命大于1500小时的概率．
解：
设Y表示“寿命大于1500小时的电子管只数”，则Y～B(5,2/3),从而所求为
18.设顾客在某银行窗口等待服务的时间（单位：分）服从参数为的指数分布．该顾客在窗口等待服务超过10分钟则离开．他一个月到银行5次．以表示未等到服务的次数，试求
（1）的概率分布；
（2）．
解：
(1)由题设，即的概率分布为
(2)
19.设随机变量在上服从均匀分布，试求一元二次方程有实根的概率．
解：由题设知,从而所求为
20.设随机变量在上服从均匀分布，试求：(1)；(2)的概率密度函数．
解：由题设可知
(1)
i)当时，，从而有
ii)当时，，从而有
a)当即时，
b)当即时，
c)当即时，
综上，可得的密度函数为
(2)
所以有
i)当即时，
ii)当即时，
综上，可得的密度函数为
21.某汽车从起点驶出时有30名乘客，设沿途有4个停靠站，且该车只下不上．每个乘客在每个站下车的概率相等，并且乘客与乘客在各个站下车与否相互独立，试求：
（1）全在终点站（即第4个停靠站）下车的概率；
（2）至少有2个乘客在终点站下车的概率；
（3）该车驶过2个停靠站后乘客人数降为15的概率；
（4）至少有一个站无人下车的概率．
解：设X表示“在终点站（即第4个停靠站）下车的人数”，则X～B(30,1/4),从而所求为
（1）
（2）
（3）设Y表示“在前2个停靠站下车的人数”，则Y～B(30,1/2),从而所求为
（4）设Z表示“无人下车的站数”，则所求为
22.设甲、乙两人进行投篮比赛，甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.7，规定每人投篮两次，谁投进的球数多谁就为优胜者．若投进的球数同样多，则每人再加投一次以决胜负，如仍为同样则为平局．试求：甲获胜，乙获胜，平局的概率各为多少？
解：设X表示“前两次甲投中的次数”，则X～B(2,0.6)；设Y表示“前两次乙投中的次数”，则Y～B(2,0.7)；表示“第三次甲投中”，表示“第三次乙投中”；表示“甲获胜”，表示“乙获胜”，表示“平局”，从而所求为
23.设服从正态分布，试求：
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)确定使得．
解：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)由，知
从而有
故有
24.一个工厂生产的电子管寿命(以小时计)，服从参数，的正态分布，若要求，允许最大为多少？
解：由题设可得
从而有
所以
故允许最大为31.25．
25.设随机变量的概率密度函数为，求：(1);(2);(3)分布函数．
解：(1)由得
(2)
(3)
ⅰ)当时，
ⅱ)当时，
综上，可得的分布函数为
26．设连续型随机变量的分布函数为
其中,求:(1)和；(2)的分布密度函数．
解：（1）因为为连续型随机变量，所以连续，故有
而
从而有
（2）
27．设随机变量的概率密度函数为
试求:（1）系数；（2）；（3）的分布函数.
解：(1)由得
(2)
(3)
ⅰ)当时，
ⅱ)当时，
ⅲ)当时，
综上，可得的分布函数为
28.设随机变量在上服从均匀分布,求的分布函数．
解：由题设可知
所以
ⅰ)当时，
ⅱ)当时，
ⅲ)当时，
ⅳ)当时，
ⅴ)当时，
综上，可得的分布函数为
29.设随机变量具有对称的概率密度，即为偶函数，，证明：对任意有：
(1)；
(2)．
证明：(1)
(2)
30.假设随机变量服从参数为2的指数分布，证明：在区间上服从均匀分布．
证：由题设可知
所以
i)当即时，，从而有
ii)当时，，从而有
于是可得
a)当即时，
b)当时，
综上，可得的密度函数为
即在区间上服从均匀分布．
二、求浙大第四版《概率论与数理统计》PDF文件
《概率论与数理统计》百度网盘免费资源下载：
链接: 提取码: x5fq
浙江大学（Zhejiang University），简称“浙大”，是中华人民共和国教育部直属的综合性全国重点大学，中央直管副部级建制。位列首批“世界一流大学和一流学科”、“211工程”、“985工程”，为九校联盟（C9）、中国大学校长联谊会、环太平洋大学联盟、世界大学联盟、全球大学校长论坛。
三、概率论与数理统计第四版课后答案
1.[一]写出下列随机试验的样本空间
（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）
o1n?100?S???,???，n表小班人数
n??nn（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2）
S={10，11，12，???，n，???}
（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。（[一](3)）
S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二]设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。（1）A发生，B与C不发生。表示为：
ABC或A－(AB+AC)或A－(B∪C)
（2）A，B都发生，而C不发生。表示为：
ABC或AB－ABC或AB－C
表示为：A+B+C
（3）A，B，C中至少有一个发生
（4）A，B，C都发生，表示为：ABC
表示为：ABC或S－(A+B+C)或A?B?C
（5）A，B，C都不发生，
（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生相当于AB,BC,AC中至少有一个发生。故表示为：AB?BC?AC。（7）A，B，C中不多于二个发生。
相当于：A,B,C中至少有一个发生。故表示为：A?B?C或ABC（8）A，B，C中至少有二个发生。
相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故表示为：AB+BC+AC
6.[三]设A，B是两事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7.问(1)在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？
解：由P(A)= 0.6，P(B)= 0.7即知AB≠φ，（否则AB=φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>1与P(A∪B)≤1矛盾）.
从而由加法定理得
P(AB)=P(A)+P(B)－P(A∪B)
(*)
（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为 P(AB)=P(A)=0.6，
（2）从(*)式知，当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为 P(AB)=0.6+0.7－1=0.3。
7.[四]设A，B，C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?P(AC)?1.求A，B，C至少有一个发生的概率。 81,P(AB)?P(BC)?0，4解：P(A，B，C至少有一个发生)=P(A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+ P(ABC)=
315??0? 4888.[五]在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26
个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？
记A表“能排成上述单词”
2∵从26个任选两个来排列，排法有A26种。每种排法等可能。
字典中的二个不同字母组成的单词：55个∴
P(A)?5511?2A261309.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2??9）
记A表“后四个数全不同”
∵后四个数的排法有104种，每种排法等可能。
4后四个数全不同的排法有A10
∴
4A10P(A)?4?0.504
1010.[六]在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。
（1）求最小的号码为5的概率。
记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A
10?∵ 10人中任选3人为一组：选法有??3?种，且每种选法等可能。??5?又事件A相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有1???2???∴
5?1???2????1 P(A)?12?10??3???（2）求最大的号码为5的概率。
10?记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有??3?种，且??
4?每种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有1???2???种
4?1???2????1 P(B)?20?10??3???11.[七]某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？
记所求事件为A。
9在17桶中任取9桶的取法有C17种，且每种取法等可能。
432?C4?C3取得4白3黑2红的取法有C10
故
432C10?C4?C3252 P(A)??62431C1712.[八]在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。记“恰有90个次品”为事件A
1500?∵在1500个产品中任取200个，取法有??200?种，每种取法等可能。
??400??1100?200个产品恰有90个次品，取法有??90??110?种
?????400??1100??90??110?????
P(A)??1500??200???∴
（2）至少有2个次品的概率。记：A表“至少有2个次品”
B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法
1100??400??1100?有??200?种，200个产品含一个次品，取法有?1??199?种??????∵
A?B0?B1且B0，B1互不相容。
∴
??1100???200????P(A)?1?P(A)?1?[P(B0)?P(B1)]?1??1500????200??????400??1100???1??199??????
??1500???200?????13.[九]从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？记A表“4只全中至少有两支配成一对”则A表“4只人不配对”
10?∵从10只中任取4只，取法有??4?种，每种取法等可能。
??要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有
?5??24?4????P(A)?4C5?244C10?821813?2121
P(A)?1?P(A)?1?15.[十一]将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？
记Ai表“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能
对A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法43332种。(选排列：好比3个球在4个位置做排列)
P(A1)?4?3?26?31642?4?3种。对A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有C3
2(从3个球中选2个球，选法有C3，再将此两个球放入一个杯中，选法有4
种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。
2C3?4?3P(A2)?43?9 16对A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此
3个球，选法有4种)
P(A3)?41?316416.[十二] 50个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部
件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？
记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。法一：用古典概率作：
把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序）
3333?C47?C44???C23对E：铆法有C50种，每种装法等可能
3333?C47?C44??C23对A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有〔C3〕×10
种
3333[C3?C47?C44???C23]?10333C50?C47????C23P(A)??1?0.00051 1960法二：用古典概率作
把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）
3对E：铆法有A50种，每种铆法等可能
对A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，?或“28，29，
327327327327?A47?A3?A47????A3?A47?10?A3?A4730”位置上。这种铆法有A3种
32710?A3?A4730A50P(A)??1?0.00051 196017.[十三]已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5,求P(B|A?B)。解一：
P(A)?1?P(A)?0.7,P(B)?1?P(B)?0.6,A?AS?A(B?B)?AB?AB注意(AB)(AB)??.故有
P(AB)=P(A)－P(AB)=0.7－0.5=0.2。再由加法定理，
P(A∪B)= P(A)+ P(B)－P(AB)=0.7+0.6－0.5=0.8于是P(B|A?B)?P[B(A?B)]P(AB)0.2???0.25
P(A?B)P(A?B)0.8解二:P(AB)?P(A)P(B|A)?由已知???05?07?P(B|A)?P(B|A)?0.5521??P(B|A)?故P(AB)?P(A)P(B|A)?0.77751P(BA?BB)P(BA)5P(B|A?B)定义???0.25P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)0.7?0.6?0.5
18.[十四] P(A)?111,P(B|A)?,P(A|B)?,求P(A?B)。 43211?定义P(AB)P(A)P(B|A)由已知条件143?P(B)?1???????有?解：由P(A|B)P(B)P(B)2P(B)6由乘法公式，得P(AB)?P(A)P(B|A)?1 121111??? 46123由加法公式，得P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?
19.[十五]掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。
解：（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P(A|B)，即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）。
掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且满足x,+y=7，则样本空间为
S={(x, y)|(1, 6),(6, 1),(2, 5),(5, 2),(3, 4),(4, 3)}每种结果（x, y）等可能。
A={掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。故P(A)?21?} 63方法二：（用公式P(A|B)?P(AB) P(B)S={(x, y)| x=1,2,3,4,5,6; y= 1,2,3,4,5,6}}每种结果均可能
A=“掷两颗骰子，x, y中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子，x,+y=7”。则
P(B)?612，?,P(AB)?2266622P(AB)216???故P(A|B)?P(B)163620.[十六]据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P(A)=P{孩子得病}=0.6，P(B|A)=P{母亲得病|孩子得病}=0.5，P(C|AB)=P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。
解：所求概率为P(ABC)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P(C|AB)
P(AB)= P(A)=P(B|A)=0.6×0.5=0.3, P(C|AB)=1－P(C|AB)=1－0.4=0.6.从而P(ABC)= P(AB)· P(C|AB)=0.3×0.6=0.18.
21.[十七]已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。
（1）二只都是正品（记为事件A）
法一：用组合做在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。
C8228P(A)?2??0.62
C1045法二：用排列做在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。
2A82A10P(A)?
?28 45法三：用事件的运算和概率计算法则来作。记A1，A2分别表第一、二次取得正品。
P(A)?P(A1A2)?P(A)P(A2|A1)?（2）二只都是次品（记为事件B）
8728??10945法一：P(B)?2C22C10?1 45法二：P(B)?2A22A10?1 45法三：
P(B)?P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?211??10945（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C）
法一：P(C)?11C8?C22C10?16 45法二：P(C)?112(C8?C2)?A22A10?16 45
法三：
P(C)?P(A1A2?A1A2)且A1A2与A1A2互斥
?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?281682???10910945（4）第二次取出的是次品（记为事件D）
法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，
法二：P(D)?11A9?A22A10?1 5法三：
P(D)?P(A1A2?A1A2)且A1A2与A1A2互斥
?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?82211???? 109109522.[十八]某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
记H表拨号不超过三次而能接通。 Ai表第i次拨号能接通。
注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。
??H?A1?A1A2?A1A2A3三种情况互斥P(H)?P(A1)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
?1919813??????10109109810如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。
P(H|B)?PA1|B?A1A2|B?A1A2A3|B)
?P(A1|B)?P(A1|B)P(A2|BA1)?P(A1|B)P(A2|BA1)P(A3|BA1A2)?1414313?????? 5545435
24.[十九]设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题(1)）
记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记B表“再从乙袋中取得白球”。∵∴
B=A1B+A2B且A1，A2互斥 P(B)=P(A1)P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)
=
nN?1mN???n?mN?M?1n?mN?M?1[十九](2)第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。
记C1为“从第一盒子中取得2只红球”。 C2为“从第一盒子中取得2只白球”。
C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”，
D为“从第二盒子中取得白球”，显然C1，C2，C3两两互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有
P(D)=P(C1)P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)+P(C3)P(D| C3)
112C525C4?C47C5653?2?????2?
1199C911C911C9226.[二十一]已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，显然A1∪A2=S，A1 A2=φ由已知条件知P(A1)?P(A2)?由贝叶斯公式，有
1P(B|A1)?5%,P(B|A2)?0.25% 2?
15?P(A1B)P(A1)P(B|A1)202100P(A1|B)????125P(B)P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)1521???2100210000
[二十二]一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P，若第一次
P及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为（1）若至少
2有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。
解：Ai={他第i次及格}，i=1,2
已知P(A1)=P(A2|A1)=P，P(A2|A1)?P
2（1）B={至少有一次及格}
}?A1A2所以B?{两次均不及格∴P(B)?1?P(B)?1?P(A1A2)?1?P(A1)P(A2|A1)?1?[1?P(A1)][1?P(A2|A1)]?1?(1?P)(1?P31)?P?P2 222
（*）
定义P(A1A2)（2）P(A1A2)
P(A2)由乘法公式，有P(A1 A2)= P(A1) P(A2| A1)= P2
由全概率公式，有P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)
?P?P?(1?P)?
P2?PP?222
将以上两个结果代入（*）得P(A1|A2)?P2P2P?22?2P P?128.[二十五]某人下午5:00下班，他所积累的资料表明：
到家时间乘地铁到 0.10家的概率乘汽车到 0.30家的概率某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。
解：设A=“乘地铁”，B=“乘汽车”，C=“5:45~5:49到家”，由题意,AB=φ,A∪B=S已知：P(A)=0.5, P(C|A)=0.45, P(C|B)=0.2, P(B)=0.5由贝叶斯公式有
0.35 0.20 0.10 0.05 0.25 0.45 0.15 0.05 5:35~5:39 5:40~5:44 5:45~5:49 5:50~5:54迟于5:54 P(A|C)?P(C|A)P(A)?P(C)0.5?0.450.459???0.6923
110.6513P(C|A)?P(C|B)2229.[二十四]有两箱同种类型的零件。第一箱装5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。
解：设Bi表示“第i次取到一等品” i=1，2 Aj表示“第j箱产品” j=1,2，显然A1∪A2=S（1）P(B1)?A1A2=φ
1101182。?????0.4（B1= A1B+A2B由全概率公式解）
2502305110911817?P(B1B2)2504923029（2）P(B2|B1)???0.4857
2P(B1)5（先用条件概率定义，再求P(B1B2)时，由全概率公式解） 32.[二十六（2）]如图1，2，3，4，5
1 L 3 2 R
表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器闭合与否相互独立，求L和R是通路的概率。
记Ai表第i个接点接通
记A表从L到R是构成通路的。
∵ A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种情况不互斥
∴ P(A)=P(A1A2)+P(A1A3A5)+P(A4A5)+P(A4A3A2)－P(A1A2A3A5)
+ P(A1A2 A4A5)+ P(A1A2 A3 A4)+P(A1A3 A4A5)
+ P(A1A2 A3A4A5) P(A2 A3 A4A5)+ P(A1A2A3 A4A5)+ P(A1A2 A3 A4A5)+(A1A2 A3 A4A5)+ P(A1A2 A3 A4A5)－P(A1A2 A3 A4A5)
又由于A1，A2， A3， A4，A5互相独立。故
P(A)=p2+ p3+ p2+ p3－[p4+p4+p4+p4+p5+p4]
4
5
+[ p5+ p5+ p5+ p5]－p5=2 p2+ 3p3－5p4+2 p5
[二十六（1）]设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。
记Ai表示第i个元件正常工作，i=1，2，3，4，
2 1 4 3 A表示系统正常。
∵ A=A1A2A3+ A1A4两种情况不互斥
(加法公式)
∴ P(A)= P(A1A2A3)+P(A1A4)－P(A1A2A3 A4)
= P(A1) P(A2)P(A3)+ P(A1) P(A4)－P(A1) P(A2)P(A3)P(A4)= P1P2P3+ P1P4－P1P2P3P4
(A1, A2, A3, A4独立)
34.[三十一]袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币，（次品硬币的两面均印有国徽）。在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少？
解：设“出现r次国徽面”=Br“任取一只是正品”=A由全概率公式，有
m1rn()??1rm?n2m?nm1r()P(A)P(Br|A)mm?n2?P(A|Br)???m1rnP(Br)m?n?2r()?m?n2m?nP(Br)?P(A)P(Br|A)?P(A)P(Br|A)?（条件概率定义与乘法公式）
35．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。
解：高Hi表示飞机被i人击中，i=1，2，3。B1，B2，B2分别表示甲、乙、丙击中飞机
∵
H1?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3，三种情况互斥。 H2?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3三种情况互斥 H3?B2B2B3
又 B1，B2，B2独立。∴
P(H1)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3)
?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36
P(H2)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3)
?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3+ 0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41 P(H3)=P(B1)P(B2)P(B3)=0.4×0.5×0.7=0.14